中值定理适用于任何连续且可微分的函数,下图任意曲线f(x),我们写出这些端点的坐标,这将是(a,f(a)),(b,f(b)).
中值定理是说,对于这样的任意曲线,在a和b之间必有一个数字c使得该点的切线斜率等于连接a和b线段的斜率,a,b之间的连线称之为割线,斜率对应的切线是有割线的上升演化而来,所以它位于与割线平行的曲线上,下图的曲线只有一个向下的凹面(你也可以理解为向上的凸面)
我们来看一个既有凹面也有凸面的连续曲线,根据上面的理论,你很容易想到凹凸曲线上各存在一点,经过它们的切线均都平行于连接a,b的割线。
这个事实具有各种应用:如果曲线是一个位置函数曲线,则导数将是它的速度,这也就意味着位移曲线上至少有一点的瞬时速度有该点的导数或者起始点之间连线的斜率给出。
或者你可以理解为:曲线上至少有一点的瞬时速度必须等于由割线斜率给出的平均速度
开动你的发散思维:微积分中值定理允许我们计算任意连续函数面积下的平均值:如下我们取从a到b的间隔乘以函数的积分,都知道这个积分就是对应的曲线下的面积,根据已有的牛顿-莱布尼兹公式a到b的函数的积分就是F(b)-F(a)。且曲线上必存在一点c使得如下等式成立
前面又介绍了曲线上必存在一点,该点的切线斜率等于任意两点的割线的斜率,那么这两者又有什么关系的,其实它们说的都是同一个意思,当然他们可不是等价的关系哦
首先微积分中值定理得出来的是一个f(c),很明显它的几何意义就是f(c)和a,b围成的矩形面积,等于这个被积函数曲线下的面积。
我们举个例子,曲线是y=1+x^2,取任意线段-1,2之间的积分中值定理就是,y=2下的矩形面积等于曲线下的面积
我们由此也推出y=2与y=1+x^2之间的两部分面积也是相等的(黄色部分)。你有没有注意到呢?
因此在这两个版本的中值定理中,我们以两种不同的方式描述了在一个区间内的一个函数,一个通过微分,一个通过积分来阐述它们对应的中值定理。
数学是美好的,但需要的是你敏锐的洞察力和直觉思维,并不仅仅依靠你的逻辑思维。